Михаил Звягин — воспитанник тюменского хоккея. Его игровая карьера включает пять сезонов в тюменском «Рубине», одиннадцать лет в серовском «Металлурге» и завершающий этап в новоуральском «Кедре». Тренерский путь начал 15 лет назад в казахстанском «Бейбарысе» (Атырау), где провел четыре сезона. Последующая карьера включает работу в павлодарском «Иртыше», курганском «Юниоре» (МХЛ Б), а с сезона 2015/16 – деятельность в ВХЛ, где Михаил Звягин пять лет возглавлял «Зауралье» и три сезона руководил тюменским «Рубином».